Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67403
Тема:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У девяти фермеров есть клетчатое поле $9\times 9$, огороженное по периметру забором и сплошь заросшее ягодами (в каждой точке поля, кроме точек забора, растёт ягода). Фермеры поделили поле между собой по линиям сетки на $9$ участков равной площади (каждый участок – многоугольник), но границы отмечать не стали. Каждый фермер следит только за ягодами внутри (не на границе) своего участка, а пропажу замечает, только если у него пропали хотя бы две ягоды. Всё это известно вороне, но где проходят границы между участками, она не знает. Может ли ворона утащить с поля $8$ ягод так, чтобы пропажу гарантированно ни один фермер не заметил?

Решение

Пусть ворона утащит ягоды, отмеченные точками на рисунке. Участок, содержащий одну из этих ягод внутри себя, должен содержать и квадрат $2\times 2$ с центром в этой точке. Если участок содержит две утащенные вороной ягоды, он, кроме соответствующих квадратов $2\times 2$, содержит тогда ещё ровно одну клетку (так как площадь участка равна $9$). Но тогда эти квадраты $2\times 2$ соприкасаются (иначе одной клетки не хватит, чтобы получить связный участок). В этом случае образуется примыкающий к углу поля изолированный участок, «отсечённый» этими двумя квадратами, в котором будет одна или две клетки, что невозможно (площади всех участков равны $9$).

Ответ

Может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Дата 2023/24
Номер 45
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .