Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67413
Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Квадрат разбили на несколько прямоугольников так, что центры прямоугольников образуют выпуклый многоугольник.
а) Обязательно ли каждый прямоугольник примыкает к стороне квадрата?
б) Может ли количество прямоугольников равняться $23$?

Решение

а) См. рисунок слева.

б) Приведём пример для произвольного нечётного $m = 2n–1$, $n>1$. Разобьём квадрат на $n$ «вертикальных» прямоугольников $A_1$, $\dots$, $A_n$ и $n–1$ «горизонтальных» прямоугольников $B_1$, $\dots$, $B_{n-1}$, расположенных так, как показано на рисунке справа. Центры прямоугольников будем обозначать теми же буквами, что и сами прямоугольники. Пусть ширина (горизонтальная сторона) прямоугольника $A_i$ равна $a_i$, высота (вертикальная сторона) прямоугольника $B_i$ равна $b_i$. Тогда тангенс угла наклона прямой $A_{i+1}A_i$ к горизонтальной оси равен $\frac{b_i}{a_{i+1}+a_i}$, а тангенс угла наклона прямой $B_{i+1}B_i$ к вертикальной оси равен $\frac{a_{i+1}}{b_{i+1}+b_i}$. Для выпуклости достаточно подобрать значения $a_i$ и $b_i$ так, чтобы обе последовательности тангенсов возрастали с уменьшением $i$ и сумма ширин $a_n +\dots + a_1$ была бы больше суммы высот $b_{n−1}+\dots+b_1$ (тогда мы сможем подобрать высоту прямоугольника $A_n$ так, чтобы получился квадрат, а высоты остальных прямоугольников $A_i$ и ширины прямоугольников $B_i$ подберутся автоматически). Сделаем, например, $a_i = (2i – 1)!$ и $b_i = (2i)!$. Тогда $\mathrm{ctg}(A_{i+1}A_i) = 2i + 1 + \frac{1}{2i}$ , $\mathrm{ctg}(B_{i+1}B_i) = 2i + 2 + \frac{1}{2i+1}$. Нетрудно проверить, что обе последовательности котангенсов убывают с уменьшением $i$, а значит, последовательности тангенсов возрастают.

Ответ

а) Не обязательно. б) Может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Дата 2023/24
Номер 45
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .