Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
45 турнир (2023/2024 год)
>>
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Для каждого многочлена степени $45$ с коэффициентами $1$, $2$, $3$, $\dots$, $46$ (в каком-то порядке) Вася выписал на доску все его различные действительные корни. Затем он увеличил все числа на доске на $1$. Каких чисел на доске оказалось больше: положительных или отрицательных?
Для какого наибольшего $N$ существует $N$-значное число со свойством: в его десятичной записи среди любых нескольких подряд идущих цифр какая-то цифра встречается ровно один раз?
Квадрат разбили на несколько прямоугольников так, что центры прямоугольников образуют выпуклый многоугольник.
а) Обязательно ли каждый прямоугольник примыкает к стороне квадрата?
б) Может ли количество прямоугольников равняться $23$?
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ площади $S$. Внутри каждой его стороны отмечено по точке и эти точки последовательно соединены отрезками, так что $ABCD$ разбивается на меньший четырехугольник и $4$ треугольника. Докажите, что хотя бы у одного из этих треугольников площадь не превосходит $\frac{S}{8}$.
Хорда $DE$ описанной около треугольника $ABC$ окружности пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно, точка $P$ лежит между $D$ и $Q$. В треугольниках $ADP$ и $QEC$ провели биссектрисы $DF$ и $EG$. Оказалось, что точки $D$, $F$, $G$, $E$ лежат на одной окружности. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $C$ лежат на одной окружности.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Задача 67411 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67412 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67413 (#3) |
|
|
а) Обязательно ли каждый прямоугольник примыкает к стороне квадрата?
б) Может ли количество прямоугольников равняться $23$?
|
|
|
Решение |
Задача 67414 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67415 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
