Условие
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ площади $S$. Внутри каждой его стороны отмечено по точке и эти точки последовательно соединены отрезками, так что $ABCD$ разбивается на меньший четырехугольник и $4$ треугольника. Докажите, что хотя бы у одного из этих треугольников площадь не превосходит $\frac{S}{8}$.
Решение
Пусть $K$, $L$, $M$ и $N$ – точки деления, лежащие на сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$, причём $AK = aAB$, $BL = bBC$, $CM = cCD$, $DN = dDA$. Тогда
$$S_{KBL}S_{LCM}S_{MDN}S_{NAB} = (1–a)bS_{ABC}(1 – b)cS_{BCD}(1 – c)dS_{CDA}(1 – d)aS_{DAB} \leqslant$$
$$\leqslant \left(\frac{a+1-a}{2}\right)^2 \left(\frac{b+1-b}{2}\right)^2 \left(\frac{c+1-c}{2}\right)^2 \left(\frac{d+1-d}{2}\right)^2 \left(\frac{S_{ABC}+S_{CDA}}{2}\right)^2 \left(\frac{S_{BCD}+S_{DAB}}{2}\right)^2 \leqslant $$
$$\leqslant \left(\frac12\right)^8 \left(\frac{S}{2}\right)^4.$$
Следовательно, одно из чисел $S_{KBL}$, $S_{LCM}$, $S_{MDN}$, $S_{NAB}$ не превосходит $\left(\frac12\right)^2 \cdot \frac{S}{2} = \frac{S}{8}$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2023/24 |
|
Номер |
45 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
4 |
