Страница: 1 [Всего задач: 3]
|
|
Сложность: 4- Классы: 9,10,11
|
Пусть $n$ – натуральное число. Назовём последовательность $a_1$, $a_2, \ldots, a_n$
интересной, если для каждого $i = 1$, $2, \ldots, n$ верно одно из равенств $a_i = i$ или $a_i = i + 1$. Назовём интересную последовательность
чётной, если сумма её членов чётна, и
нечётной – иначе. Для каждой нечётной интересной последовательности нашли произведение её чисел и записали его на первый листок. Для каждой чётной – сделали то же самое и записали на второй листок. На каком листке сумма чисел больше и на сколько? (Дайте ответ в зависимости от $n$.)
|
|
Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10
|
Прямоугольник $1 \times 3$ будем называть
триминошкой. Петя и Вася независимо друг от друга разбивают доску $20 \times 21$ на триминошки. Затем они сравнивают полученные разбиения, и Петя платит Васе столько рублей, сколько триминошек в этих двух разбиениях совпали (оказались на одинаковых позициях). Какую наибольшую сумму выигрыша может гарантировать себе Вася независимо от действий Пети?
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10
|
На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых
клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно окрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.
Страница: 1 [Всего задач: 3]