|
|
 |
Условие
Пусть $n$ – натуральное число. Назовём последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$ интересной, если для каждого $i$ = 1, 2, ..., $n$ верно одно из равенств $a_i = i$ или $a_i = i$ + 1. Назовём интересную последовательность чётной, если сумма её членов чётна, и нечётной – иначе. Для каждой нечётной интересной последовательности нашли произведение её чисел и записали его на первый листок. Для каждой чётной – сделали то же самое и записали на второй листок. На каком листке сумма чисел больше и на сколько? (Дайте ответ в зависимости от $n$.)
Решение 1
Обозначив сумму, содержащую слагаемое 2·3·...·$n(n + 1)$, через $A_n$, а другую – через $B_n$, докажем равенство $A_n - B_n = 1$ по индукции.
База. $A_1 - B_1$ = 2 - 1 = 1.
Шаг индукции. Представим сумму $A_n$ в виде $A' + A''$, где $A'$ содержит все слагаемые вида $a_1a_2...a_{n-1}(n + 1)$, а $A''$ – все слагаемые вида $a_1a_2...a_{n-1}n$. Так как сумма $A'$ содержит слагаемое 2·3·...·$n(n + 1)$, , то для каждого её слагаемого $a_1a_2...a_{n-1}(n + 1)$ последовательность $a_1, a_2, ..., a_{n-1}$ имеет ту же чётность, что и последовательность 2, 3, ..., $n$. Следовательно, $A' = (n + 1)A_{n-1}$. Соответственно, в сумме $A''$ для каждого её слагаемого $a_1a_2...a_{n-1}n$ чётность последовательности $a_1, a_2, ..., a_{n-1}$ противоположна чётности последовательности
2, 3, ..., $n$. Тогда $A'' = nB_{n-1}$, откуда $A_n = A' + A'' = (n + 1) A_{n-1} + nB_{n-1}$. Аналогично $B_n = n A_{n-1} + (n + 1) B_{n-1}$. Значит, $A_n - B_n = (n + 1) A_{n-1} + n B_{n-1} - n A_{n-1} - (n + 1) B_{n-1} = A_{n-1} - B_{n-1} = 1$.
Решение 2
Рассмотрим равенство 1 = (2 – 1)(3 – 2)...$(n – (n – 1))((n + 1) – n)$.
Раскрыв все скобки в правой части, получим сумму из слагаемых со знаками плюс и минус, каждое из которых является произведением $n$ чисел: по одному числу из каждой скобки. Так как в $i$-й скобке выбирается число $i + 1$ или – $i$, то каждое слагаемое по модулю равно произведению чисел какой-то интересной последовательности, при этом слагаемое входит в сумму со знаком плюс, если множитель – $i$ выбирается в чётном числе скобок, и со знаком минус, если в нечётном. Значит, произведения тех интересных последовательностей, которые имеют ту же чётность, что и последовательность 2, 3, ..., $n, n + 1$, входят в сумму со знаком плюс, а произведения интересных последовательностей противоположной чётности входят в сумму со знаком минус. Отсюда следует искомое равенство.Ответ
При $n$ ≡ 0, 1 (mod 4) сумма на втором листке больше на 1, при остальных $n$ – наоборот. Иными словами, больше на 1 та сумма, где присутствует слагаемое 2·3·...·$n(n + 1)$.
Замечания
5 баллов
