Задача 67436
|
|
 |
Условие
Дано натуральное число $n$. Можно ли представить многочлен $x(x-1)\dots(x-n)$ в виде суммы двух кубов многочленов с действительными коэффициентами?Решение 1
Предположим противное – существуют такие многочлены $f$ и $g$, что выполнено тождество $x(x-1)\dots(x-n)=f^3+g^3$. Тогда $$x(x-1)\dots(x-n)=(f+g)(f^2-fg+g^2). \quad (*)$$ При $x=0$, $1$, $\dots$, $n$ имеем $f^3(x)=-g^3(x)$, откуда $f(x) = -g(x)$, то есть $f(x)+g(x) = 0$.Значит, многочлен $f + g$ имеет корнями числа $0$, $1$, $2$, $\dots$, $n$, откуда его степень не меньше $n+1$ (поскольку он не тождественный ноль). В частности, у одного из многочленов $f$ и $g$ степень не меньше $n+1$ – не теряя общности, пусть у $g$. Тогда, из равенства $(*)$, степень многочлена $f^2-fg+g^2$ равна 0, то есть это ненулевая константа. Но это невозможно, так как из представления $f^2-fg+g^2 =(f-0{,}5g)^2+0{,}75g^2$ видно, что у этого многочлена старшая степень не меньше, чем максимум из степеней многочленов $(f-0{,}5g)^2$ и $0{,}75g^2$, то есть, не меньше $2(n+1)$. (Можно сказать иначе: $0{,}75g^2$ принимает сколь угодно большие значения, откуда $(f-0{,}5g)^2 + 0{,}75g^2$ тоже, то есть, последний многочлен не может быть константой).
