Условие
В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ отмечена точка $D$ (отличная от $A$ и $B$) и проведена медиана $AM$. Оказалось, что $AM = \frac{1}{2}CD$. Обязательно ли треугольник $ABC$ тупоугольный?
Решение 1
Продлим медиану $AM$ на её длину до точки $L$ ($AM=ML$). Тогда $ACLB$ – параллелограмм, $ACLD$ – трапеция. Поскольку её диагонали $AL$ и $CD$ равны, она равнобокая, откуда $LD=CA=LB$, то есть угол $LBD$ острый как угол при основании равнобедренного $\triangle LBD$, а дающий в сумме с ним $180^\circ$ угол $CAB$ тупой.
Решение 2
Продлим медиану $AM$ на её длину до точки $L$ ($AM=ML$). Тогда $ACLB$ – параллелограмм, $ACLD$ – трапеция. Поскольку её диагонали $AL$ и $CD$ равны, она равнобокая. Так как $AD < CL$, $\angle CAD$ – тупой (углы при меньшем основании равнобедренной трапеции тупые).
Ответ
Да, обязательно.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Год |
2025 |
|
Номер |
88 |
|
класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
3 |
