Задача 67482
|
|
 |
Условие
В равностороннем треугольнике $ABC$ проведены отрезки $ED$ и $GF$, так что образовались два равносторонних треугольника $ADE$ и $GFC$ со сторонами 1 и 100 (точки $E$ и $G$ лежат на стороне $AC$). Отрезки $EF$ и $DG$ пересекаются в точке $O$, причём угол $EOG$ равен $120^\circ$. Чему равна сторона треугольника $ABC$?Решение
Заметим, что $$\angle FEG = \angle OEG = 60^\circ - \angle OGE = 60^\circ - \angle DGE = \angle GDE.$$
Значит, треугольники $FGE$ и $GED$ подобны по двум углам (ведь ещё $\angle DEG = \angle FGE = 120^\circ$), откуда $FG : GE = GE : ED$, поэтому $GE = \sqrt{FG\cdot ED} = 10$, и далее $AC = 1 + 10 + 100 = 111$.
