Условие
На каждой стороне выпуклого многоугольника построили треугольник, третья вершина которого — пересечение биссектрис двух углов многоугольника, примыкающих к этой стороне. Докажите, что вместе эти треугольники покрывают весь многоугольник.
Решение 1
Рассмотрим произвольную точку $X$ внутри многоугольника и докажем, что она покрывается хотя бы одним треугольником.
Опустим из точки $X$ перпендикуляры на все стороны (или их продолжения). Выберем сторону $BC$, для которой такой перпендикуляр самый короткий.
Докажем, что треугольник $BCI$, построенный на этой стороне, содержит точку $X$.
Биссектриса состоит из точек угла, которые равноудалены от сторон угла, и делит угол на две части: в каждой из них до одной из сторон ближе, чем до другой.
(Это верно для углов, меньших развёрнутого, а у выпуклого многоугольника все углы такие).
Поэтому точка $X$ лежит по ту же сторону от биссектрисы $BI$, что и сторона $BC$, и по ту же сторону от биссектрисы $CI$, что и сторона $BC$, а значит,
лежит внутри треугольника $BCI$.
Решение 2
Вновь рассмотрим произвольную точку $X$ внутри многоугольника. Если точка $X$ не покрыта ни одним треугольником, то можно немного сдвинуть её внутри многоугольника так, чтобы она по-прежнему не была покрыта, но вдобавок не лежала бы ни на одной из биссектрис (так как биссектрисы делят многоугольник на конечное число частей). Соединим тогда $X$ со всеми вершинами нашего многоугольника. Каждый угол многоугольника разделится на две неравные части, одна из которых больше половины соответствующего угла, а другая — меньше. Рассмотрим все эти части углов, половина из них «меньшие» и половина «большие». Обойдём углы многоугольника по кругу. Если после меньшей части какого-то угла $A$ идёт меньшая же часть следующего угла $B$, точка $X$ попадёт внутрь треугольника со стороной $AB$ — противоречие. Значит, за меньшей частью каждого угла следует большая часть следующего, а тогда меньшие и большие
части строго чередуются (так как больших и меньших частей поровну). Но тогда расстояние от точки $X$ до сторон многоугольника постоянно увеличивается при обходе по кругу.
Сделав полный круг, получим противоречие (расстояние будет больше самого себя).
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2024/25 |
|
Номер |
46 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
5 |
