Задача 67501
|
|
 |
Условие
По кругу стоят кувшины с соками, не обязательно одинакового размера. Из любого кувшина разрешается переливать любую часть сока (возможно, нисколько или весь сок) в соседний кувшин справа, так чтобы тот не переполнился и сладость смеси в нём стала равна $10\%$. Известно, что в начальный момент такое переливание удалось бы сделать из любого кувшина. Докажите, что можно сделать в каком-то порядке несколько таких переливаний (не более одного из каждого кувшина), так чтобы сладость смеси во всех непустых кувшинах стала равна $10\%$. (Сладость — это процент сахара в смеси, по весу. Сахар всегда равномерно распределён в кувшине.)Решение 1
При смешивании двух соков получается какая-то промежуточная сладость между сладостями этих соков. Назовём кувшин нормальным, если он пустой или сладость в нём равна $10\%$; кислым — если сладость в нём меньше $10\%$, сладким — если больше. Аналогично дадим название чану, куда мысленно сольём весь сок.Если какой-то кувшин нормальный, то переливание из него не изменит название кувшина справа. Значит, справа тоже нормальный кувшин, и так далее. Тогда все кувшины нормальные и переливаний не требуется.
Иначе имеем чередование кислых и сладких кувшинов (в частности, всего кувшинов чётное количество). Разобьём кувшины на пары соседних, чтобы левый кувшин пары был кислым. Переливанием в каждой паре сделаем сладкий кувшин нормальным. Значит, чан кислый или нормальный. Если бы разбили на пары по-другому, то получили бы сладкий или нормальный чан. Следовательно, чан нормальный и все левые кувшины в парах опустели.
Решение 2
Занумеруем кувшины по кругу так, что изначально в $1$-м можно сделать $10\%$-ю сладость с помощью $2$-го, во $2$-м — с помощью $3$-го, и так далее, в $(n-1)$-м кувшине — с помощью $n$-го, в $n$-м — с помощью $1$-го.Тогда сделаем $1$-й кувшин нормальным с помощью $2$-го. Во $2$-м кувшине сладость осталась та же, только сока могло стать меньше, значит, его всё ещё можно сделать нормальным с помощью $3$-го кувшина. Сделаем. Аналогично сделаем нормальными все кувшины, кроме $n$-го. Если чан сладкий, то $n$-й кувшин тоже стал сладким, но тогда он и был сладким (из него ведь просто отлили часть сока). Начав процесс с другого кувшина, выясняем, что все кувшины были сладкими. Но тогда нельзя было выполнить ни одного переливания. Аналогичную ситуацию получаем, если чан кислый. Следовательно, чан нормальный. Тогда и $n$-й кувшин стал нормальным, и мы добились требуемого.
