Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67498  (#1)

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Процессы и операции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9,10,11

На доску записали числа $1$, $2$, ..., $100$. Далее за ход стирают любые два числа $a$ и $b$, где $a\geqslant b>0$, и пишут вместо них одно число $[a/b]$. После $99$ ходов на доске останется одно число. Каким наибольшим оно может быть? (Напомним, что $[x]$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67499  (#2)

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10,11

В классе $N$ школьников, среди них образовалось несколько компаний. Общительностью школьника назовём количество людей в наибольшей компании, куда он входит (если ни в одну не входит, то общительность равна $1$). Оказалось, что у всех девочек в классе общительность разная. Каково наибольшее возможное количество девочек в классе?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67500  (#3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На стороне $CD$ прямоугольника $ABCD$ взята точка $K$. Из вершины $B$ опустили перпендикуляр $BH$ на отрезок $AK$. Оказалось, что отрезки $AK$ и $BH$ делят прямоугольник на три части, в каждую из которых можно вписать круг (см. рисунок). Докажите, что если круги, касающиеся стороны $CD$, равны, то и третий круг им равен.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67501  (#4)

Темы:   [ Задачи на смеси и концентрации ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

По кругу стоят кувшины с соками, не обязательно одинакового размера. Из любого кувшина разрешается переливать любую часть сока (возможно, нисколько или весь сок) в соседний кувшин справа, так чтобы тот не переполнился и сладость смеси в нём стала равна $10\%$. Известно, что в начальный момент такое переливание удалось бы сделать из любого кувшина. Докажите, что можно сделать в каком-то порядке несколько таких переливаний (не более одного из каждого кувшина), так чтобы сладость смеси во всех непустых кувшинах стала равна $10\%$. (Сладость — это процент сахара в смеси, по весу. Сахар всегда равномерно распределён в кувшине.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67502  (#5)

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прямоугольная клетчатая доска покрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета и разбита на доминошки $1\times 2$. Везде, где граничат по стороне горизонтальная и вертикальная доминошки, стоит дверка. Она покрашена в тот же цвет, что и примыкающая клетка той доминошки, которая примыкает короткой стороной. Обязательно ли белых дверок столько же, сколько чёрных?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями