Задача 67502
|
|
 |
Условие
Прямоугольная клетчатая доска покрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета и разбита на доминошки $1\times 2$. Везде, где граничат по стороне горизонтальная и вертикальная доминошки, стоит дверка. Она покрашена в тот же цвет, что и примыкающая клетка той доминошки, которая примыкает короткой стороной. Обязательно ли белых дверок столько же, сколько чёрных?Решение 1
Рассмотрим стороны клеток на границе доски. Среди них поровну белых и чёрных (так как у доски есть чётная сторона). Каждая длинная сторона доминошки, выходящая на границу, даёт вклад из одной белой и одной чёрной стороны клетки. Тогда и среди коротких сторон, выходящих на границу, поровну белых и чёрных сторон клеток. Поэтому, если мы проделаем новые дверки наружу в каждой короткой стороне доминошки, прилегающей к краю доски, то добавлено будет одинаковое количество белых и чёрных дверок. Рассмотрим теперь произвольную клетчатую вертикаль (толщиной в одну клетку) и объединим в ней примыкающие друг к другу вертикальные доминошки в вертикальные полоски. В каждой получившейся полоске (если они есть) ровно две «горизонтальные» дверки, причём разного цвета (поскольку длина полоски чётна). Тогда в каждой вертикали поровну чёрных и белых дверок. То же верно и для горизонталей, а значит, и для всей доски.Решение 2
Рассмотрим вертикальную прямую $В$, проходящую по границам клеток. Покажем, что на ней одинаковое количество белых и чёрных дверей.Будем двигаться по $В$ от самой нижней горизонтали к самой верхней. Без ограничения общности пусть первая встретившаяся дверь $Д_1$ — белая. До этого все доминошки, примыкающие к $В$, начинались и кончались на одних и тех же горизонталях (какие-то горизонтальные доминошки могли пересекать $В$). Поэтому вертикальная доминошка, примыкающая к $Д_1$, закончится на 1 клетку выше, чем горизонтальная. Если по другую сторону от $В$ стоит вертикальная доминошка, то она закончится ещё на 1 клетку выше, и т.д. Рано или поздно доминошки с обеих сторон от $В$ закончатся на одинаковой высоте (на краю доски или раньше). Значит, встретится горизонтальная доминошка, напротив которой расположена верхняя клетка вертикальной доминошки, то есть мы придём к следующей двери $Д_2$ (это могло произойти и сразу после двери $Д_1$). В каждой из пройденных вертикальных доминошек нижняя клетка белая, а верхняя чёрная. Поэтому дверь $Д_2$ чёрная.
Дальнейшее движение по прямой $В$ происходит аналогично. Таким образом, белые и чёрные двери расположены на $В$ парами. Аналогичное верно и для горизонтальных прямых. Отсюда следует ответ. (Из доказанного также следует, что общее количество дверей на вертикальных прямых чётно, как и на горизонтальных.)
