Условие
На плоскости провели $100$ прямых, среди них никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Рассмотрим всевозможные четырёхугольники, все стороны которых лежат на этих прямых (в том числе четырёхугольники, внутри которых проведены линии). Обязательно ли выпуклых среди них столько же, сколько невыпуклых?
Решение
Рассмотрим произвольный невыпуклый четырёхугольник $ABCD$ из условия (угол $A$ больше $180^\circ$). Продлив его стороны $BA$ и $DA$ до пересечения со сторонами $DC$ и $BC$, получим выпуклый четырёхугольник $AB'CD'$ (см. рисунок). Обратно, продлив стороны выпуклого четырёхугольника, получим невыпуклый. Таким образом, все четырёхугольники разбиваются на пары выпуклый-невыпуклый.
Ответ
Обязательно.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2024/25 |
|
Номер |
46 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
2 |
