Условие
Учитель назвал две различные ненулевые цифры. Коля хочет составить делящееся на $7$ семизначное число, в десятичной записи которого нет других цифр, кроме этих двух. Всегда ли Коля может это сделать, какие бы две цифры ни назвал учитель?
Решение
Если учитель назовет цифры 1 и 8, то каждое число, которое может составить Коля, будет давать тот же остаток от деления на 7, что и число 1111111 (поскольку отличается от Колиного на число, составленное из нулей и семёрок, которое кратно 7). Но число 1111111 на 7 не делится — оно даёт остаток 1 при делении на 7.
Ответ
Не всегда.
Замечания
Ещё одна «плохая» пара — 2 и 9. В остальных случаях Коля может добиться желаемого. Действительно, случай, когда одна из названных цифр равна 7, очевиден. Пусть обе названные цифры $a$ и $b$ отличны от 7, причём $0 < a - b = c \ne 7$. Тогда число $\overline{aaaaaaa}$ даёт остаток $a$ при делении на 7. Заметим, что числа $c$, $10c$, ..., $10^5c$ дают различные ненулевые остатки при делении на 7, и так как их шесть, то одно из них, скажем, $10^kc$, даёт остаток $a$ при делении на 7. Тогда Коле подходит число $\overline{aaaaaaa} - 10^kc$, состоящее из шести цифр $a$ и одной цифры $b$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2024/25 |
|
Номер |
46 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
1 |
