Задача 67510
|
|
 |
Условие
Имеется 15 неразличимых на вид монет. Известно, что одна из них весит $1$ г, две — по $2$ г, три — по $3$ г, четыре — по $4$ г, пять — по $5$ г. На монетах есть соответствующие надписи с указанием масс. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь проверить, все ли надписи сделаны верно? (Не требуется определять, какие именно надписи верны, а какие нет.)Решение
Для обозначения монет будем использовать надписи, которые сделаны на них.Первое взвешивание: сравним $1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3$ и $5 + 5 + 5$. Минимальный возможный вес монет на первой чаше равен 14 г, а максимальный на правой — 15 г. Поэтому если левая чаша легче, то ней именно такой набор монет (возможно, с перепутанными надписями), а на правой — три монеты массой 5 г.
Второе взвешивание: сравним $1 + 4 + 4 + 4 + 5^*$ и $3 + 3 + 3 + 5 + 5$, где $5^*$ — монета, про которую уже известно, что она весит 5 г, а $5$ — монета про которую мы этого не знаем.
Минимальный возможный вес монет на первой чаше — 18 г, а максимальный на правой — 19 г. Значит, если левая чаша легче, то на всех монетах на весах надписи сделаны верно. Тогда на оставшихся монетах 2, 2 и 4 надписи также правильные.
Если хоть одно из взвешиваний даст другой результат, то среди надписей есть ошибочные.
