Условие
Даны окружности $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $M$ – середина отрезка, соединяющего их центры. На $\omega_1$ выбрана точка $X$, а на $\omega_2$ – точка $Y$ так, что $MX = MY$.
Найдите геометрическое место середин отрезков $XY$.
Решение
Пусть $O_1$, $O_2$ – центры данных окружностей, $R_1$, $R_2$ – их радиусы, $O_1O_2 = 2d$. Проведя высоту $XH$ треугольника $XMO_1$, получаем, что
$$MH^2-O_1H^2 = (MH+HO_1)(MH - HO_1) = XM^2 - R^2_1.$$
Поскольку один из множителей равен $d$, другой равен $\frac{XM^2 - R^2_1}{d}$, и
$MH = \frac{XM^2 + d^2 - R^2_1}{2d}.$
Аналогично, расстояние от $M$ до проекции точки $Y$ на $O_1O_2$ равно $\frac{XM^2 + d^2 - R^2_2}{2d}$, следовательно, проекция середины $XY$ на $O_1O_2$ не зависит от $XM$. Если окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ не пересекаются, то искомое ГМТ состоит из двух отрезков, симметричных относительно $O_1O_2$, концы которых соответствуют максимальному и минимальному значениям $XM$.
В противном случае получаем один отрезок.
Ответ
Один или два отрезка, перпендикулярных линии центров окружностей.
Источники и прецеденты использования
