Задача 67547

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Кухарчук И., Галахова Е.

Дан вписанный пятиугольник $ABCDE$. Диагонали $AC$ и $CE$ равны и пересекают диагональ $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $BM=ND$, $BC\not=CD$. Докажите, что точка, симметричная $C$ относительно середины $BD$, лежит на прямой $AE$.

Решение

Из условия следует, что $CM\cdot MA=BM\cdot MD=DN\cdot BN=CN\cdot NE$. Поскольку при этом $AC=CE$, получаем $CM=CN$ или $CM=EN$. Первый случай невозможен, так как $BC\not=CD$, во втором середина $MN$ лежит на средней линии треугольника $ACE$, что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2025
класс
Класс	8
задача
Номер	8.1