Условие
Высоты $AA_1$, $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $A'$, $B'$ симметричны $A$, $B$ относительно $BB_1$, $AA_1$ соответственно. Докажите, что окружности девяти точек треугольников $A'B'C$ и $A'B'H$ касаются.
Решение
Пусть $K$, $M_1$, $N_1$, $M_2$, $N_2$ – середины отрезков $A'B'$, $CB'$, $CA'$, $HB'$, $HA'$ соответственно. Тогда утверждение задачи равносильно равенству $\angle M_1KM_2=\angle M_1N_1K+\angle M_2N_2K$. Поскольку $\angle M_1KM_2=\angle CA'H$, $\angle M_1N_1K=\angle KB'C$, $\angle KN_2M_2=\angle HB'K$, это равенство сводится к равенству углов $CA'H$ и $HB'C$. Но $\angle HA'A=\angle A'AH=\angle HBB'=\angle BB'H=\pi/2-\angle C$, откуда и следует утверждение задачи.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2025 |
|
класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
9.1 |
