Задача 67560
|
|
 |
Условие
Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Касательные к $\omega$, проведенные в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $S$. Отрезки $AS$ и $BC$ пересекаются в точке $P$. Биссектрисы (как лучи) углов $APC$ и $SPC$ пересекают $\omega$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $S$ лежат на одной прямой.Решение
Докажем более общее утверждение: если прямая, проходящая через $S$, пересекает $\omega$ в точках $U$, $V$, то прямые $PA$, $PB$, $PU$, $PV$ образуют гармоническую четверку.Сделаем проективное преобразование, сохраняющее окружность $\omega$ и переводящее $P$ в ее центр. Тогда прямые $BC$ и $AS$ перейдут в перпендикулярные диаметры окружности, а точки $U$, $V$ в точки, симметричные относительно $BC$. Очевидно, что требуемое утверждение выполняется.
