Задача 67565

Темы:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Авторы: Алкин Э., Скопенков А.Б.

Можно ли взять в пространстве шесть точек $A_1$, ..., $A_6$ общего положения так, чтобы треугольники $A_1A_2A_3$ и $A_4A_5A_6$ были зацеплены, а два треугольника, соответствующие любому другому разбиению данных точек на две тройки, – нет?

Два треугольника в пространстве зацеплены, если контур одного пересекает внутренность другого в единственной точке.

Решение

Возьмем две равные правильные пирамиды с общим основанием $A_1A_2A_3$ и вершинами $A_4$, $A_5$, лежащими по разные стороны основания. Возьмем точку $A_6$ в плоскости, проходящей через ребро $A_1A_4$ и высоту треугольника $A_5A_2A_3$, в угле, вертикальном с углом, содержащим точки $A_1$, $A_4$, $A_5$. Тогда все отрезки $A_6A_i$, $i=1$, ..., $5$ лежат вне бипирамиды $A_1A_2A_3A_4A_5$, значит, точки $A_1$, ..., $A_6$ удовлетворяют условию.

Ответ

Да.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2025
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3