Условие
Дорога от пункта $A$ до пункта $B$ идёт сначала по шоссе, а потом по тропинке.
Петя и Вася одновременно вышли навстречу друг другу из пунктов $A$ и $B$ соответственно и встретились на шоссе. На следующий день они снова одновременно вышли навстречу друг другу, но теперь Петя — из $B$, а Вася — из $A$, и снова встретились на шоссе, но в 6 км от места вчерашней встречи.
Известно, что Петя и Вася ходят по шоссе каждый со своей постоянной скоростью, причём Петя — в $1{,}5$ раза быстрее Васи, а на тропинке их скорости снижаются в одно и то же число раз. На каком расстоянии от $A$ они встретились в первый день?
Решение 1
Построим вместо тропинки шоссе и удлиним его так, чтобы время прохождения этого участка было тем же самым. Теперь можно считать, что Петя и Вася оба дня шли навстречу друг другу по одному шоссе. Разобьём его на пять равных частей, тогда Петя оба дня проходил три части, а Вася — две. Значит, расстояние между местами их встречи составляет одну часть, то есть длина каждой части равна 6 км, а Петя в первый день прошел 18 км.
Решение 2
Пусть первая встреча ребят состоялась в точке $M$, а вторая — в точке $N$, тогда $MN=6$. Поскольку Вася идет в $1{,}5$ раза медленнее Пети, Петя на второй день дойдёт до точки $M$ в $1{,}5$ раза быстрее, чем Вася в первый день. Пусть Вася в этот момент находится в точке $K$. Пройденный Васей к этому моменту путь $AK$ составляет тогда $1 : (1,5\cdot1,5) = \frac49$ пути Пети в первый день, то есть $AK=\frac49 AM$. За оставшееся до встречи время Петя прошёл расстояние $MN$, а Вася — расстояние $KN = MN : 1,5 = 4$ (км). Таким образом, $KN + NM = 4 + 6 = 10 = AM - AK = \frac59 AM$, откуда $AM = 10\cdot9:5 = 18$ (км).
Ответ
18 км.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Номер |
47 |
|
Дата |
2025/2026 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
2 |
