Задача 67586
|
|
 |
Условие
Существует ли такой острый угол $\alpha$, что некоторый прямоугольник можно разрезать на равнобокие трапеции, у каждой из которых есть угол $\alpha$?Решение
Предположим противное. Ясно, что $90^\circ /\alpha$ — целое число (так как в вершине прямоугольника сходится несколько острых углов). Рассмотрим все точки, в которых сходятся углы нескольких трапеций.Сумма углов, сходящихся во внутренних точках, равна $360^\circ$. Четыре и больше тупых углов в такой точке сходиться не может — тогда они не больше $90^\circ$, то есть не тупые.
Трёх тупых углов в такой точке тоже быть не может: ведь тогда либо там нет острых, и каждый тупой равен $120^\circ$, а острый равен $60^\circ$, что невозможно ($90^\circ /60^\circ$ — не целое число), либо есть острые, но один острый плюс один тупой равен $180^\circ$, и в «оставшихся» $180^\circ$ не более одного тупого угла, противоречие.
Если тупых углов два, то и острых два, ведь тупой и острый дают в сумме $180^\circ$.
Возможен случай, и когда тупых углов не больше одного — если точка внутри стороны одной из трапеций, острых углов там тогда не меньше одного. То же происходит в точках, лежащих на границе прямоугольника, но не в его вершинах.
Наконец, в вершинах прямоугольника сходятся только острые углы.
Следовательно, во всех трапециях вместе число тупых углов меньше числа острых. Но в каждой трапеции число тупых углов равно числу острых. Противоречие.
