Задача 67596
|
|
 |
Условие
Докажите, что при некотором натуральном $N$ строго между соседними кубами $N^3$ и $(N+1)^3$ находится ровно $1000$ точных квадратов.Решение 1
Попробуем найти подходящее $N$ явно, причём будем искать его в виде $N=k^2$. Чтобы оно удовлетворяло условию задачи, достаточно выполнения неравенств: $$ (k^3+1000)^2<(k^2+1)^3\leqslant(k^3+1001)^2. $$ (Тогда строго между кубами $(k^2)^3$ и $(k^2+1)^3$ будет ровно 1000 квадратов: $(k^3+1)^2, \ldots, (k^3+1000)^2$.)Раскрыв скобки, получим: $$ k^6+2000k^3+1000^2 < k^6+3k^4+3k^2+1\leqslant k^6+2002k^3+1001^2. $$ Вычтем из всех частей $k^6$ и поделим все части на $k^3$. Получим: $$ 2000+\left(\frac{100}{k}\right)^3<3k+\frac3{k}+\frac1{k^3}\leqslant 2002+\frac{1001^2}{k^3}. $$ Тогда такое число $k$, что $3k=2001$, то есть $k=667$, подходит, поскольку при этом $k$, очевидно, $\left(\frac{100}{k}\right)^3 < 1$ и $\frac3{k}+\frac1{k^3} < 1.$
Решение 2
Количество квадратов между $N^3$ и $(N+1)^3$ равно числу целых точек на интервале $(N^{3/2}, (N+1)^{3/2})$. Обозначим через $L=L(N)$ этот интервал и через $l=l(N)$ — его длину. Очевидно, величина $l(N)$ растёт, и нетрудно доказать, что она растёт со скоростью $\sqrt N$, то есть не очень быстро. Количество целых точек на $L(N)$ равно либо $[l(N)]$, либо $[l(N)] + 1$.Пусть $r$ — произвольное достаточно большое натуральное число (здесь $r = 1000$). Найдём такое натуральное $N$, что $r- \frac12 < l(N) < r$, тогда на интервале $L(N)$ лежит либо $r$, либо $r-1$ целых точек. Если их $r$, то всё получилось, в противном случае рассмотрим интервал $L(N+1)$. Можно считать, что для него также выполняется неравенство $r -\frac12 < l(N+1) < r$, соответственно, на нём также $r$ или $r-1$ целых точек. Но если бы их было $r-1$, то на объединении интервалов $L(N)$ и $L(N+1)$ лежало бы только $2r-2$ целые точки, тогда как его длина больше $2r-1$. Противоречие. (Отдельно надо рассмотреть случай, когда один из концов интервала целый, но это тоже несложно). Осталось лишь заметить, что число $1000$ достаточно большое для наших целей.
