Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67594  (#1)

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

У Паши и Миши есть квадратная таблица $100\times100$, в каждой клетке которой стоит либо плюс, либо минус. Паша и Миша по очереди вычёркивают: Паша — ещё не вычеркнутую строку, а Миша — ещё не вычеркнутый столбец, пока не останется всего одна невычеркнутая клетка. Если в ней стоит плюс, то выиграл Паша, а если минус — Миша. Могла ли таблица оказаться такой, что в этой игре, кто бы её ни начинал — Паша или Миша, — способ гарантировать себе победу имеется
а) у того, кто ходит вторым;
б) у начинающего?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67599  (#2)

Темы:   [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В выпуклом четырёхугольнике через середину каждой диагонали проведён отрезок с концами на сторонах четырёхугольника, параллельный другой диагонали. Докажите, что концы этих двух отрезков образуют четырёхугольник, в котором есть пара параллельных сторон.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67600  (#3)

Тема:   [ Кооперативные алгоритмы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

$N$ узников сидят в камерах, расположенных по кругу. Сегодня у них есть возможность посовещаться и договориться, а завтра поутру каждый узник бросит игральный кубик. После этого каждый должен сделать предположение — какое число выпало у каждого из 5 узников, сидящих в 5 камерах, следующих по часовой стрелке. Если будет угадано хотя бы одно из выпавших чисел хоть у какого-то узника, всех освободят. Как им действовать, чтобы гарантированно выйти на свободу, если

а) $N=47$;

б) $N=48$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67596  (#4)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что при некотором натуральном $N$ строго между соседними кубами $N^3$ и $(N+1)^3$ находится ровно $1000$ точных квадратов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67601  (#5)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Четность и нечетность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

На каждой из сторон правильного $N$-угольника живёт робот. Каждый робот едет по своей стороне со своей постоянной скоростью, в вершине мгновенно разворачивается и продолжает ехать с той же скоростью в противоположном направлении, и так далее. Когда два робота встречаются в какой-то вершине, там вспыхивает искра. Могло ли оказаться, что в каждой вершине искры вспыхивают с одной и той же ненулевой частотой, если

а) $N=3$;

б) $N=5$?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями