Задача 67599
|
|
 |
Условие
В выпуклом четырёхугольнике через середину каждой диагонали проведён отрезок с концами на сторонах четырёхугольника, параллельный другой диагонали. Докажите, что концы этих двух отрезков образуют четырёхугольник, в котором есть пара параллельных сторон.Решение
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$, $P$ и $Q$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Разберём случай, когда ни одна из точек $P$, $Q$ не совпадает с точкой $O$ (оставшиеся случаи разбираются аналогично).Не теряя общности, можно считать, что $P$ лежит на отрезке $OA$, а $Q$ — на отрезке $OD$. Тогда прямая, проходящая через $P$ параллельно $BD$, пересекает стороны $AB$ (пусть в точке $K$) и $AD$, а прямая, проходящая через $Q$ параллельно $AC$, пересекает стороны $CD$ (пусть в точке $L$) и $AD$. Достаточно доказать, что $KL\parallel AD$, то есть что $S_{AKD} = S_{ALD}$. Имеем: $$ S_{AKD}=\frac{AK}{AB}\cdot S_{ABD}=\frac{AP}{AO}\cdot S_{ABD}= \frac{AC}{2AO}\cdot\frac{DB}{DO}\cdot S_{AOD}. $$ Аналогично получаем, что $$ S_{ALD}=\frac{DB}{2DO}\cdot\frac{AC}{AO}\cdot S_{AOD}=S_{AKD}. $$
