|
|
 |
Условие
На каждой из сторон правильного $N$-угольника живёт робот. Каждый робот едет по своей стороне со своей постоянной скоростью, в вершине мгновенно разворачивается и продолжает ехать с той же скоростью в противоположном направлении, и так далее. Когда два робота встречаются в какой-то вершине, там вспыхивает искра. Могло ли оказаться, что в каждой вершине искры вспыхивают с одной и той же ненулевой частотой, еслиа) $N=3$;
б) $N=5$?
Решение
а) Докажем, что искры не могут вспыхивать с равной частотой.
Пусть они вспыхивают раз в $t$ секунд. Ускорим всех роботов в $t$ раз, тогда все искры станут вспыхивать раз в секунду. Это значит, что каждый робот проходит свою сторону за рациональное число секунд. Теперь снова изменим скорости всех трёх роботов в одно и то же число раз так, чтобы первый, второй и третий роботы стали проезжать свои стороны за $a$, $b$ и $c$ секунд соответственно, где $a,b,c$ натуральны и ${\rm НОД}(a,b,c)=1$.
Тогда промежуток между вспышками — это $$\mbox{НОК}(2a,2b)=\mbox{НОК}(2b,2c)=\mbox{НОК}(2a,2c).$$ Значит, $$\mbox{НОК}(a,b)=\mbox{НОК}(b,c)=\mbox{НОК}(a,c).$$
Рассмотрим три последовательные искры: между первым и третьим роботом, между первым и вторым и между вторым и третьим. Пусть между соответствующими им искрам первый, второй и третий роботы прошли по своим сторонам $l$, $m$ и $n$ раз соответственно. Тогда $l$, $m$ и $n$ нечётны и
$$la+mb=nc \Rightarrow a+b\equiv c \pmod{2}.$$
Значит, либо $a$, $b$ и $c$ чётны, либо два из них нечётны, а третье чётно. Если все они чётны, то $a$, $b$ и $c$ имеют общий делитель 2, что противоречит нашему предположению. А если два из них нечётны, а третье чётно, то их попарные наименьшие кратные не все одной чётности, что невозможно, так как они должны быть равны.
Таким образом, мы пришли к противоречию, то есть искры не могут вспыхивать через равные промежутки времени.
б) Решение 1.
Да, такое возможно. Обозначим пятиугольник через $ABCDE$ и будем считать, что его сторона равна 1. Все роботы начинают одновременно. Два робота начинают в $A$. Один из них едет в сторону $E$ со скоростью 2, второй — в сторону $B$ со скоростью 1. Третий робот начинает в $B$ и едет к $C$ со скоростью 2. Четвёртый начинает в середине $CD$ и едет к $C$ со скоростью 1. Пятый начинает в середине $ED$ и едет к $E$ со скоростью 1.
В каждой вершине искры будут вспыхивать с периодом 2: вспышки в вершине $A$ — в моменты времени $2k$, в вершине $B$ — в моменты $2k+1$, в вершине $C$ — в моменты $2k+\frac12$, в вершине $D$ — в моменты $2k+\frac32$, в вершине $E$ — в моменты $2k+\frac12$, где $k$ — неотрицательное целое.
Решение 2.
На рисунке внутри пятиугольника указано время в минутах, которое требуется роботу, чтобы проехать соответствующую сторону,
а у вершин — моменты времени, когда роботы в них попадают (из этих данных можно восстановить, где роботы начинают движение в момент времени 0: например, два «верхних» робота начинают движение по своим сторонам из верхней вершины, а робот на нижней стороне начинает движение влево из её середины). Как видно, в каждой вершине искрит раз в 4 минуты.
