|
|
 |
Условие
$N$ узников сидят в камерах, расположенных по кругу. Сегодня у них есть возможность посовещаться и договориться, а завтра поутру каждый узник бросит игральный кубик. После этого каждый должен сделать предположение — какое число выпало у каждого из 5 узников, сидящих в 5 камерах, следующих по часовой стрелке. Если будет угадано хотя бы одно из выпавших чисел хоть у какого-то узника, всех освободят. Как им действовать, чтобы гарантированно выйти на свободу, еслиа) $N=47$;
б) $N=48$?
Решение 1
а) Занумеруем узников по часовой стрелке. Узники договариваются: каждый «предположит», что у следующих пяти выпало то же число, что и у него. Пусть у 1-го узника выпадет число $a$. Еcли повезёт, то и у 2-го выпадет $a$ и всех освободят. В противном случае у 2-го выпадет другое число $b$. Еcли повезёт, то у 3-го выпадет $a$ или $b$, и всё хорошо. В противном случае у 3-го выпадет третье число $c$. При продолжающемся невезении у 4-го, 5-го и 6-го выпадут новые числа $d$, $e$, $f$, а у 7-го — снова $a$. Далее при невезении всё продолжится по циклу и у 43-го узника выпадет $a$, то есть он угадает число 1-го, и всех освободят.
б) Первые 47 узников действуют так же, как в а), а 48-й «предсказывает», что у следующих пяти выпало какое-нибудь одно и то же число, но не то, что у него. При невезении у него выпадет $f$, поэтому он угадает число у одного из первых пяти узников.
Решение 2
Занумеруем узников по часовой стрелке. Узники договариваются: каждый «предположит», что у второго за ним выпала 2, у третьего — 3, у четвёртого — 4, у пятого — 5, а у первого — либо 1, либо 6, а что именно — поясним ниже.Заметим, что если хоть у одного узника выпадет число $a$, равное 2, 3, 4 или 5, то кто-то угадает (так как где-то перед каждым узником есть тот, кто предсказывает ему число $a$). Поэтому далее можно считать, что у всех выпало 1 или 6.
а) Если узников всего 47, то пусть каждый предскажет своему 1-му соседу выпадение 1, если у него самого выпало 1, и предскажет выпадение 6, если у него самого выпало 6. Тогда если у 1-го узника выпало, скажем, 1, то у 2-го — 6, у 3-го — 1, и так далее, у 47-го — 1, и он угадает, что выпало у 1-го узника.
б) Если узников всего 48, то пусть каждый узник с 1-го до 47-го предскажет своему 1-му соседу выпадение 1, если у него самого выпало 1, и предскажет выпадение 6, если у него самого выпало 6. А 48-й узник пусть действует наоборот: предскажет своему 1-му соседу выпадение 6, если у самого выпало 1, и предскажет выпадение 1, если у самого выпало 6. Тогда если у 1-го узника выпало, скажем, 1, то у 2-го — 6, у 3-го — 1, и так далее, у 48-го — 6, и он угадает, что выпало у 1-го узника.
