Условие
Дано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ с целыми ненулевыми коэффициентами $a$, $b$ и $c$, имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на $1$, то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень?
Решение
Рассмотрим квадратный трёхчлен $f(x)=2x^2-5x+2$. Его
коэффициенты ненулевые, а также выполнено $f(2)=0$, то есть исходное
уравнение имеет целый корень. Сумма коэффициентов многочлена равна
$2-5+2=-1$. При увеличении любого из коэффициентов на $1$ эта сумма
увеличивается на $1$ и становится равной нулю. Тогда значение многочлена
при $x=1$ равно нулю, то есть число $1$ является корнем полученного
квадратного трёхчлена. Следовательно, указанный трёхчлен удовлетворяет
условию задачи.
Ответ
Да, может.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Год |
2026 |
|
Номер |
89 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Номер |
47 |
|
Дата |
2025/2026 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
2 |
