Задача 67635
|
|
 |
Условие
Можно ли из последовательности точных квадратов $1, 4, 9 , 16, \ldots$ выбрать такую бесконечную подпоследовательность, что разность любых двух её соседних членов — точный куб?
Решение
Попробуем взять первым членом 1, тогда в качестве второго подходит 9 (ведь $9-1=8=2^3$), в качестве третьего подойдёт 36 (так как $36-9=27=3^3$), … Но продолжается ли эта последовательность до бесконечности? В числах 1, 9, 36, … угадываются квадраты треугольных чисел: $1=1^2$, $9=(1+2)^2$, $36=(1+2+3)^2$, … Осталось проверить, что последовательность $(1+2+3+\ldots+n)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ при натуральных $n$ подходит, то есть, что $$\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2-\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)^2=n^3.$$
Это нетрудно сделать многими способами (например, раскрыв скобки или разложив на множители). По сути мы доказали известную формулу (её также можно доказать геометрически): $$ 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.$$Ответ
Можно.
Замечания
- Найти решение можно было и иначе — например, если разность соседних членов $a^2$ и $b^2$ равна $n^3$, то $(a-b)(a+b)=n^3$, и можно попытаться подобрать $a$ и $b$ так, чтобы выполнялись равенства $a-b=n$, $a+b=n^2$, откуда $a=\frac12(n^2+n)$, $b=\frac12(n^2-n)$.
- 4 балла.
