Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67635  (#1)

Темы:   [ Последовательности ] [ Подпоследовательности ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10,11

Можно ли из последовательности точных квадратов $1, 4, 9 , 16, \ldots$ выбрать такую бесконечную подпоследовательность, что разность любых двух её соседних членов — точный куб?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67636  (#2)

Темы:   [ Правильный тетраэдр ] [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Через вершину правильного тетраэдра проведена плоскость, касающаяся его вписанной сферы и отсекающая от противоположной грани треугольник. Докажите, что периметр этого треугольника не зависит от выбора плоскости.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67634  (#3)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8,9,10,11

На спортивном параде выстроились по кругу 2026 спортсменов, занумерованных подряд числами от 1 до 2026 по часовой стрелке. Каждый спортсмен смотрел на соседа справа или соседа слева. Известно, что было ровно 100 пар соседей, смотрящих друг на друга. Затем каждый спортсмен с чётным номером повернулся и смотрит уже на другого соседа. Сколько теперь имеется пар соседей, смотрящих друг на друга?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67638  (#4)

Темы:   [ Теория игр ] [ Симметричная стратегия ] [ Свойства коэффициентов многочлена ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан многочлен $$*x^n+*x^{n-1}+\ldots+*x+*,$$ вместо каждого из $n+1$ его коэффициентов записана звёздочка. Играют двое, ходят по очереди, за ход выбирают любую звёздочку и заменяют её на любое целое ненулевое число. Когда звёздочек не останется, игрок, сделавший последний ход, выиграет, если у получившегося многочлена есть целый корень, иначе выиграет другой игрок. При каждом натуральном $n$ выясните, кто из игроков может гарантировать себе победу, как бы ни играл его соперник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67639  (#5)

Темы:   [ Теория алгоритмов ] [ Оценка + пример ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

Квадрат $N\times N$ разбит на $N^2$ единичных квадратов. Одна из вершин единичных квадратов радиоактивна. Имеется также прибор, который про любой из этих единичных квадратов определяет, есть ли среди его вершин радиоактивная. Найдите радиоактивную вершину за наименьшее число проверок, если а) $N=7$; б) $N=8$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями