|
|
 |
Условие
Через вершину правильного тетраэдра проведена плоскость, касающаяся его вписанной сферы и отсекающая от противоположной грани треугольник. Докажите, что периметр этого треугольника не зависит от выбора плоскости.
Решение
Пусть $S$ — вершина из условия, $ABC$ — противоположная грань тетраэдра. Касательные, проведённые из вершины $S$ к вписанной сфере, образуют конус, пересекающий основание по окружности (так как тетраэдр правильный). Нетрудно видеть, что эта окружность проходит через середины сторон основания, и так как по трём точкам окружность однозначно определяется, это вписанная в основание окружность $\omega$. Так как плоскость из условия касается сферы, эта плоскость пересекает основание по касательной к окружности $\omega$.
Пусть $KL$ — эта касательная, и она отсекает треугольник $AKL$. Нетрудно заметить, что периметр треугольника $AKL$ равен удвоенному расстоянию от вершины $A$ до точки касания окружности $\omega$ со стороной $AB$, то есть равен стороне основания.
По сути мы свели исходную стереометрическую задачу к простой планиметрической: если в равносторонний треугольник $ABC$ вписана окружность, то касательные к этой окружности (отличные от сторон треугольника) отсекают от $ABC$ треугольник постоянного периметра.
