|
|
 |
Условие
На спортивном параде выстроились по кругу 2026 спортсменов, занумерованных подряд числами от 1 до 2026 по часовой стрелке. Каждый спортсмен смотрел на соседа справа или соседа слева. Известно, что было ровно 100 пар соседей, смотрящих друг на друга. Затем каждый спортсмен с чётным номером повернулся и смотрит уже на другого соседа. Сколько теперь имеется пар соседей, смотрящих друг на друга?
Решение 1
Назовём пару спортсменов хорошей, если они смотрят друг на друга. Рассмотрим все пары, составленные из спортсмена с нечётным номером и того спортсмена, на которого он смотрит. Поскольку спортсмены с нечётным номером не поворачиваются, все хорошие пары в обоих случаях находятся среди выбранных. Всего таких пар 1013. Каждая такая пара в первом или втором случае будет хорошей (ровно в одном из них). В первом случае хороших пар 100. Значит, во втором случае хороших пар $1013-100=913$.
Решение 2
Будем обозначать каждого смотрящего по часовой стрелке буквой Ч, а каждого смотрящего против часовой стрелки — буквой П. Рассмотрим всевозможные пары стоящих рядом спортсменов. Всего их 2026, и бывают они четырёх видов (если «читать» рядом стоящие буквы по часовой стрелке): ЧП, ПЧ (неоднородные пары) и ПП, ЧЧ (однородные пары). Друг на друга смотрят в точности спортсмены в неоднородной паре ЧП, и при движении по кругу (по часовой стрелке) после любой пары ЧП следующая неоднородная пара — ПЧ, и наоборот, то есть пар ЧП и ПЧ поровну.
По условию пар ЧП было 100, значит, и пар ПЧ тоже было 100, а однородных пар (ПП и ЧЧ) суммарно было $2026-200=1826$. В каждой из пар повернулся ровно один спортсмен, однородные пары стали неоднородными и наоборот. После поворота пары ЧП и ПЧ также чередуются, поэтому новых пар ЧП ровно половина: $1826:2 = 913$.
Ответ
913 пар.
