|
|
 |
Условие
а) Существует ли отличный от параллелограмма выпуклый четырёхугольник, который можно разрезать на любое количество равных выпуклых четырёхугольников от 2 до 100?
б) Существует ли выпуклый четырёхугольник, не имеющий ни центра, ни оси симметрии, который можно разрезать как на 2, так и на 47 равных выпуклых четырёхугольников?
Решение
а) Поясним сначала идею решения. Вот пример равнобокой трапеции (с основаниями 14 и 16), которую можно разрезать на некоторые нечётные (слева) и соответствующие чётные (справа) количества равных трапеций:
Но как поделить такую трапецию на 4 равные трапеции, 8 равных, $2k$ равных? Оказывается, тоже можно, разбив её сначала на $k-1$ параллелограммов и трапецию, а потом каждую из этих фигур — на две равные части:
Для нашей задачи надо лишь подобрать соотношение оснований исходной трапеции так, чтобы получились все необходимые разрезания.
Если мы хотим разрезать равнобокую трапецию с основаниями $a < b$ на $2n+1$ трапеций с основаниями $x$ и $x+(b-a)$ (как было в наших примерах), достаточно, чтобы для основания длины $a$ выполнялось равенство $(n+1)x+n(x+b-a)=a$, откуда $x(2n+1) = a(n+1) - bn$. Подходящее $x$ найдётся при $\frac{a}b > \frac{n}{n+1}$. Так как последовательность $\frac{n}{n+1}$ возрастает с ростом $n$, для наших целей достаточно, чтобы $\frac{a}b > \frac{49}{50}$.
А для разрезания на $2k$ трапеций с основаниями $y$ и $y+\frac{b-a}2$ (как в наших примерах), достаточно, чтобы для основания длины $a$ выполнялось равенство $(k+1)y+(k-1)(y+\frac{b-a}2)=a$, откуда $4ky = 2a-(k-1)(b-a)=a(k+1) - b(k-1)$. Подходящее $y$ найдётся при $\frac{a}b > \frac{k-1}{k+1}$, и снова для наших целей достаточно, чтобы $\frac{a}b > \frac{49}{51}$.
В итоге подойдёт, например, равнобокая трапеция, длины оснований которой — $50$ и $51$.
б) Возможно, самое трудное в этой задаче — придумать четырёхугольник без центра и оси симметрии, который можно разрезать на два равных четырёхугольника. Для этого рассмотрим квадрат и проведём через его центр $O$ любую прямую $l$, делящую квадрат на две прямоугольные трапеции. Любая такая трапеция подойдёт, так как проходящая через $O$ прямая $s$, перпендикулярная $l$, разрежет обе трапеции на равные части (поскольку вместе прямые $l$ и $s$ делят квадрат на 4 равные части, которые совмещаются поворотами на $90^\circ$ вокруг $O$); и такая трапеция не имеет ни оси, ни центра симметрии.
Эту трапецию можно разрезать и на 47 равных прямоугольных трапеций подобно тому, как это сделано в пункте а), подобрав подходящее соотношение оснований. Например, подойдёт прямоугольная трапеция $ABCD$ с высотой $AB = 141$ и основаниями $BC = 70$ и $AD = 71$.
Действительно, рассмотрим в этой трапеции внутренний прямоугольник $ABXY$, у которого ширина $BX=AY=69$; он разрезается на $23$ прямоугольника ширины $3$, каждый из которых разрезается на две трапеции с основаниями 1 и 2, равных трапеции $YXCD$. Получили разбиение на $47$ равных трапеций.
Ответ
Существует в обоих пунктах.
