|
|
 |
Условие
Существует ли выпуклый пятиугольник со свойством: для каждой точки на его границе найдётся квадрат, вписанный в пятиугольник, и такой, что выбранная точка является одной из вершин квадрата? (Квадрат считается вписанным, если все его вершины лежат на границе пятиугольника.)
Решение
Пусть $D'$ — середина $AD$ квадрата $ABCD$. Параллельно его диагоналям опишем вокруг $BCD'$ прямоугольник $A'B'C'D'$ (см. рисунок справа). Он симметричен относительно $B'D'$, значит, является квадратом. Докажем, что подойдёт выпуклая оболочка этих квадратов — пятиугольник $DAA'B'C'$.
Векторы $AA'$ и $BB'$ различны, поэтому существует (единственная) поворотная гомотетия, переводящая $A$ в $A'$ и $B$ в $B'$. Ясно, что она переводит квадрат $ABCD$ в $A'B'C'D'$, поскольку они одинаково ориентированы.
Возьмём на отрезке $AA'$ точку $A_1$. Рассмотрим поворотную гомотетию с тем же центром, но переводящую $A$ в $A_1$. Она переведёт $B$, $C$, $D$ соответственно в точки $B_1$, $C_1$, $D_1$, делящие отрезки $BB'$, $CC'$, $DD'$ в том же отношении, что и $A_1$ делит $AA'$. Получится квадрат $A_1B_1C_1D_1$, вписанный в пятиугольник. Для другой половины границы пятиугольника вписанные квадраты строятся симметрично $B'D'$.
Ответ
Существует.
