Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67647  (#1)

Темы:   [ Правильные многогранники ] [ Основные свойства и определения правильных многогранников ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8,9,10,11

Каждую грань правильного октаэдра (см. рисунок) разбили средними линиями на правильные треугольники (всего получилось 32 одинаковых маленьких правильных треугольника). Какое наибольшее число этих треугольников можно закрасить так, чтобы закрашенные треугольники не имели общих вершин?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67616  (#2)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Имеется двести шариков ста цветов, по два шарика каждого цвета. Фокусник разложил их произвольным образом в сто коробочек, по два шарика в коробочку, где что лежит – игрок не знает. За ход игрок указывает на любые две коробочки, после чего фокусник незаметно для игрока выбирает по шарику из этих коробочек и меняет их местами. Если в какой-то момент в каждой коробочке будут лежать разноцветные шарики, ведущий выдаёт игроку приз. Может ли игрок действовать так, чтобы гарантированно получить приз, как бы фокусник ни менял шарики?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67612  (#3)

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема синусов ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $BC$ равны, $K$ – точка пересечения диагоналей. Описанная окружность треугольника $ABD$ повторно пересекает сторону $BC$ в точке $Y$, а описанная окружность треугольника $BCD$ повторно пересекает сторону $AB$ в точке $X$. Докажите, что $\angle AKX = \angle CKY$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67618  (#4)

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Теория графов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Назовём набор из $k$ последовательных натуральных чисел хорошим, если можно у каждого из этих чисел выбрать по простому делителю так, чтобы у всяких двух разных чисел были выбраны разные делители. В противном случае назовём набор плохим. При всяком ли натуральном $k$ количество плохих наборов из $k$ последовательных натуральных чисел конечно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67651  (#5)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Существует ли выпуклый пятиугольник со свойством: для каждой точки на его границе найдётся квадрат, вписанный в пятиугольник, и такой, что выбранная точка является одной из вершин квадрата? (Квадрат считается вписанным, если все его вершины лежат на границе пятиугольника.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями