Задача 67647

Темы:    [ Правильные многогранники ] [ Основные свойства и определения правильных многогранников ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8,9,10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Каждую грань правильного октаэдра (см. рисунок) разбили средними линиями на правильные треугольники (всего получилось 32 одинаковых маленьких правильных треугольника). Какое наибольшее число этих треугольников можно закрасить так, чтобы закрашенные треугольники не имели общих вершин?

Решение

Оценка. Множество вершин треугольников состоит из 18 точек: 6 вершин октаэдра и 12 середин его рёбер. Поэтому больше 18:3 = 6 треугольников закрасить нельзя.

Пример. На рисунке справа грани октаэдра нарисованы на плоскости — они растянуты, но стыкуются так же, как и у октаэдра, одна из граней не видна (её граница — это граница внешнего треугольника). Показано, как закрасить 6 треугольников.

Ответ

6 треугольников.

Замечания

4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	47
Дата	2025/2026
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1