|
|
 |
Условие
На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.
Решение
Предположим, что такое расположение семи точек и семи прямых существует. Прежде всего докажем, что каждые две из данных точек лежат на одной из данных прямых. Действительно, если A – одна из этих точек, то через A проходят три прямые, и на каждой из них лежит по две из данных точек (не считая A ); тем самым A и любая из шести точек, отличных от A , лежат на одной из данных прямых. Точно так же доказывается, что каждые две из данных прямых пересекаются в одной из данных точек: если a – одна из прямых, то через каждую из трех лежащих на ней точек проходит по две прямые (не считая a ), и поэтому каждая из этих прямых пересекается с a в одной из данных точек. Ниже дана подпись к рис.2 и 3 Рис.2. Выпуклой оболочкой множества из конечного числа точек является выпуклый многоугольник с вершинами в некоторых из этих точек (или отрезок, если все точки лежат на одной прямой). Рис.3. Эта конфигурация почти полностью удовлетворяет требованиям задачи М36, только одну "прямую" пришлось изогнуть.
