Задача 73579

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Для любого натурального числа K существует бесконечно много натуральных чисел Т, не содержащих в десятичной записи нулей и таких, что сумма цифр числа KТ равна сумме цифр числа Т. Докажите это.

Решение

Пусть в числе K (в десятичной записи) k цифр. Тогда в роли T можно взять любое число 999...99 , записываемое n девятками, где n k ; тогда и сумма цифр T , и сумма цифр KT равны 9n (в числе KT=K (10ⁿ-1) цифры, отстоящие друг от друга на n разрядов, дают в сумме 9 ; например,

почти очевидное доказательство для общего случая оставляем читателю).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	9
Задача
Номер	М44