ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73582
Темы:    [ Сочетания и размещения ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из цифр 1 и 2 составили пять n-значных чисел так, что у каждых двух чисел совпали цифры ровно в m разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Докажите, что отношение m/n не меньше ⅖ и не больше ⅗.


Решение

  Выпишем числа одно под другим. В каждом разряде ("столбце") пять цифр. Из них можно составить 10 (неупорядоченных) пар. По всем столбцам таких пар будет 10n. Выясним, сколько среди них таких, которые состоят из одинаковых цифр, то есть пар  (1, 1)  и  (2, 2).  В каждом столбце таких пар либо 4, либо 6. Поэтому общее количество таких пар не меньше 4n и не больше 6n. С другой стороны, количество таких пар равно 10m, поскольку всевозможных пар из пяти чисел – 10.
  Итак,  4n ≤ 10m ≤ 6n,  что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 10
Задача
Номер М47

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .