Задача 73584
|
|
 |
Условие
На карточках написаны все числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки выложили в цепочку в произвольном порядке.
Докажите, что полученное 444445-значное число не является степенью двойки.
Решение
Легко доказать, что это число делится на 11111, пользуясь тем, что числа 105A и A при любом целом A дают одинаковые остатки при делении на 11111, а сумма 11111 + 11112 + ... + 99998 + 99999 делится на 11111. Но если число делится на 11111, то оно, конечно, не может быть степенью двойки. (Это сразу следует, например, из теоремы о единственности разложения на простые множители.)
