Задача 73589

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Г.А.Гальперин

Два одинаковых прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что площадь пересечения этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.

Решение

Пусть длины сторон прямоугольников a и b . Заметим, что на сторонах каждого из прямоугольников лежит ровно две точки пересечения с двумя соседними сторонами другого. (Легко доказать, что если всего точек пересечения 8 , то на каждой стороне должно лежать не меньше двух точек и что пересечение стороны одного прямоугольника с двумя параллельными сторонами другого невозможно). Пусть A и C  — точки, в которых пересекаются стороны разных прямоугольников, равные a ; B и D  — точки, в которых пересекаются стороны, равные b . Тогда, очевидно, отрезок AC служит биссектрисой угла между сторонами длины a , проходящими через точку A (для доказательства достаточно опустить на эти стороны перпендикуляры из точки C и рассмотреть пару образовавшихся при этом равных треугольников). Точно так же BD  — биссектриса угла между сторонами длины b , проходящими через точку B . Следовательно, AC BD , и поэтому площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями AC и BD равна . Поскольку AC b и BD a , даже эта площадь (и уж подавно вся площадь общей части прямоугольников) больше .
Как показывают письма читателей, самое трудное в подобной задаче — придумать безупречное рассуждение, которое годилось бы для всех возможных случаев расположения фигур, не зависело бы от особенностей чертежа. Поэтому мы намеренно не ссылались в решении на рисунок, чтобы подчеркнуть, что правильность решения можно проверить формально, не обращаясь ни к какому конкретному рисунку.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	11
Задача
Номер	М54