ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 73586  (#М51)

Темы:   [ Тождественные преобразования ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1. Докажите это.

Прислать комментарий     Решение

Задача 57315  (#М52)

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Теорема косинусов ]
[ Неравенства для остроугольных треугольников ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
[ Доказательство от противного ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Серов М.

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.
Прислать комментарий     Решение


Задача 53133  (#М53)

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9

В треугольнике ABC через середину M стороны BC и центр O вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая MO, которая пересекает высоту AH в точке E. Докажите, что отрезок AE равен радиусу вписанной окружности.

Прислать комментарий     Решение


Задача 73589  (#М54)

Темы:   [ Неравенства с площадями ]
[ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Г.А.Гальперин

Два одинаковых прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что площадь пересечения этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73590  (#М55)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9,10,11

Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше n цифр, разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во второе — c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа k £ n сумма k-х степеней всех чисел первого множества равна сумме k-х степеней всех чисел второго множества.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .