Информация о задаче

Задача 57315

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Неравенства для остроугольных треугольников	]
	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Автор: Серов М.

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

Решение

Обозначим длины отрезков так, что a₁ $\leq$ a₂ $\leq$ a₃ $\leq$ a₄ $\leq$ a₅. Если все треугольники, которые можно составить из этих отрезков, не остроугольные, то a₃² $\geq$ a₁² + a₂², a₄² $\geq$ a₂² + a₃² и a₅² $\geq$ a₃² + a₄². Поэтому a₅² $\geq$ a₃² + a₄² $\geq$ (a₁² + a₂²) + (a₂² + a₃²) $\geq$ 2a₁² + 3a₂². Так как a₁² + a₂² $\geq$ 2a₁a₂, то 2a₁² + 3a₂² > a₁² + 2a₁a₂ + a₂² = (a₁ + a₂)². Приходим к неравенству a₅² > (a₁ + a₂)², противоречащему неравенству треугольника.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	2
Название	Алгебраические задачи на неравенство треугольника
Тема	Алгебраические задачи на неравенство треугольника
задача
Номер	09.011


журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	11
Задача
Номер	М52