ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73592
Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

a) Найдите число k, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и k).
б) Докажите, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замене 14 на 17 решений вообще не будет.


Решение

  Пусть    – разложение числа M на простые множители; для определенности будем считать, что  α1 ≥ α2 ≥ ... ≥ αr ≥ 1.  Согласно формуле из задачи 60537 а) общее количество делителей M равно  (α1 + 1)(α2 + 1)...(αr + 1).

  а)  14 = 7·2,  поэтому  r = 2,  α1 = 6,  α2 = 1.  Мы знаем, что 3 входит в разложение M с показателем, большим 1, а 2 – с показателем, большим 0. Отсюда следует, что  M = 36·2 = 1458.

  б) Для 15 делителей возможны ответы  M = 32·24  и  M = 34·22,  а 17 делителей могут иметь только числа вида M = p16,  где p – простое.


Ответ

а) 1458.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 12
Задача
Номер М57

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .