Задача 73592

Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Дынкин Е.Б., Молчанов С.А., Розенталь А.Л., Толпыго А.К.

a) Найдите число k, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и k).
б) Докажите, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замене 14 на 17 решений вообще не будет.

Решение

  Пусть    – разложение числа M на простые множители; для определенности будем считать, что  α₁ ≥ α₂ ≥ ... ≥ α_r ≥ 1.  Согласно формуле из задачи 60537 а) общее количество делителей M равно  (α₁ + 1)(α₂ + 1)...(α_r + 1).

  а)  14 = 7·2,  поэтому  r = 2,  α₁ = 6,  α₂ = 1.  Мы знаем, что 3 входит в разложение M с показателем, большим 1, а 2 – с показателем, большим 0. Отсюда следует, что  M = 3⁶·2 = 1458.

  б) Для 15 делителей возможны ответы  M = 3²·2⁴  и  M = 3⁴·2²,  а 17 делителей могут иметь только числа вида M = p¹⁶,  где p – простое.

Ответ

а) 1458.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	12
Задача
Номер	М57