ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73594
Темы:    [ Взвешивания ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При каких n гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., n г можно разложить на три равные по массе кучки?


Решение

  Покажем, что это можно сделать тогда и только тогда, когда  n > 3  и одно из чисел n или  n + 1  кратно 3. Необходимость этих условий очевидна, поскольку общий вес гирь  1 + 2 + 3 + ...+ n = ½ n(n + 1)  должен делиться на 3.
  Для доказательства достаточности заметим сначала, что разбиение возможно при n, равном 5, 6, 8 и 9 (это показано на рисунке). Все остальные интересующие нас значения n получаются из этих четырёх прибавлением некоторого количества шестёрок, а любую группу из шести последовательных целых чисел  a + 1, ..., a + 6  легко разбить на три пары чисел, дающих равные суммы:  {a + 1, a + 6},  {a + 2, a + 5},
{a + 3, a + 4}.


Ответ

При  n > 3,  n ≡ 0, 2 (mod 3).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 12
Задача
Номер М59

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .