Даны целые числа a, b и c,  c ≠ b.  Известно, что квадратные трёхчлены  ax² + bx + c  и  (c – b)x² + (c – a)x + (a + b)  имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что  a + b + 2c  делится на 3.

   Решение

В клетки таблицы 100×100 записаны ненулевые цифры. Оказалось, что все 100 стозначных чисел, записанных по горизонтали, делятся на 11. Могло ли так оказаться, что ровно 99 стозначных чисел, записанных по вертикали, также делятся на 11?

   Решение

Вот несколько примеров, когда сумма квадратов k последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов k – 1 следующих натуральных чисел:

3² + 4² = 5²,

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²,

55² + 56² + 57² + 58² + 59² + 60² = 61² + 62² + 63² + 64² + 65².

Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.

   Решение

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Вот несколько примеров, когда сумма квадратов k последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов k – 1 следующих натуральных чисел:

3² + 4² = 5²,

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²,

55² + 56² + 57² + 58² + 59² + 60² = 61² + 62² + 63² + 64² + 65².

Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.

Решение

Докажем, что для каждого натурального k существует ровно одно натуральное n такое, что

(Заметьте, что в правой части равенства стоит (k-1) слагаемое, а в левой– k ). Равенство(1) эквивалентно следующим:

Таким образом, высказанное утверждение доказано: равенство(1) для натуральных k и n выполняется тогда и только тогда, когда n=2k²-2k . (При переходе от(3) к(4) мы воспользовались тем, что сумма (k-1) членов арифметической прогрессии (2n-k+2)+(2n-k+4)+...(2n+k-2) равна (k-1) ((2n-k+2)(2n+k-2))/2=2(k-1)n .) Тем самым мы получили искомую общую формулу. Ее можно записать, например, так:

где k – произвольное натуральное число. Примеры, приведенные в условия, получаются из нее при k , равном 2, 4 и 5 .

Источники и прецеденты использования