Условие
Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в
точке О, прямой l, проходящей через
точку О, и всевозможных касательных к окружностям,
параллельных l. Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что все точки такой бесконечной цепочки лежат на одной параболе (поэтому рисунок словно соткан из светлых и тёмных парабол).
Решение
Примем прямую
l за ось
Ox , а точку
O – за начало координат
прямоугольной системы, как показано на рис.5. Единица масштаба уже
задана в условии. Сетка линий, о которой идет речь в условии, составлена
из окружностей радиуса
n с центром
O (уравнение такой окружности
x2+y2=n2 ) и прямых
y=m , где
m и
n – всевозможные целые числа;
n>0
. Таким образом, каждой точке пересечения (или касания) этих линий–
каждому "узлу"
(
x,y)
нашей сетки– соответствует определенная пара
значений
n=
и
m=y . Заметим, что когда мы переходим
от одной из розовых точек к соседней розовой точке, то и
m , и
n
изменяются на единицу, так что их разность
n-m=-y
остается постоянной; эта разность для всех розовых точек равна
6
.
Уравнение
-y=6
эквивалентно следующим:
x2+y2=(
y+6)
2 ;
y=x2/12
-3
. Таким образом, все розовые точки лежат на
параболе
y=x2/12
-3
.
В другой подобной цепочке точек, которую мы нарисовали голубым цветом,
при переходе от точки к соседней
и
y меняются на единицу
так, что постоянной остается их сумма:
+y=4
. Это уравнение
после преобразований тоже превращается в уравнение параболы
y=-x2/6
+3/2
.
Точно так же можно показать, что любая бесконечная цепочка точек,
в которой соседние точки являются противоположными вершинами одной
клетки (или одного сегмента), лежит на параболе
y=-x2/2
p+
p/2
, где
p – некоторое целое число, отличное от нуля.
Обратно, на любой из этих парабол лежит такая бесконечная цепочка точек
(это точки пересечения параболы со всевозможными прямыми
y=m ).
Заметим, что если
p<0
, т.е. если ветви параболы уходят вверх, то при
четном
p парабола идет по темным клеткам, а при нечетном
p – по
желтым; если же
p>0
, то наоборот. При этом через каждую точку
пересечения прямых и окружностей нашей сетки (исключая точки касания,
лежащие на прямой
x=0
), проходят две параболы; одна идет по желтым
клеткам, другая– по темным; одна направлена ветвями вверх, другая–
вниз.
По существу, решение задачи M68 очень близко к доказательству
эквивалентности геометричского и алгебраического определений параболы.
Источники и прецеденты использования
