ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73625
Темы:    [ Иррациональные неравенства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Если x1 < x2 < x3 < ... < xn натуральные числа, то сумма n – 1 дробей, k-я из которых, где k < n, равна отношению квадратного корня из разности xk+1 - xk к числу xk+1, меньше суммы чисел 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n2. Докажите это.

Решение

Предположим сначала, что xnn2. Тогда

Последняя сумма, очевидно, не превосходит содержащей столько же слагаемых суммы
Но тогда
Предположим теперь, что среди чисел x0, x1, x2, ..., xn есть большие, чем n2.
Если xi > n2, то
Таким образом, каждое слагаемое со знаменателем xi, большим n2 , меньше . Следовательно, сумма всех таких слагаемых (их не более чем n ) меньше 1. Но сумма остальных слагаемых, как уже было показано выше, меньше + + ... + , что и завершает доказательство исходного неравенства.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1971
выпуск
Номер 6
Задача
Номер М90

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .