Задача 73637

Темы:    [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Метод ГМТ ] [ Системы точек ]

Сложность: 6 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Гурари В.

Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точек A и B существует такая точка С этого множества, что треугольник ABC равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?

Решение

Докажем, что такое множество может содержать только три точки (разумеется, предполагая, что оно содержит более одной).
Обозначим это множество буквой Γ.

Пусть A и B – две точки множества Γ , расстояние между которыми наибольшее. По условию, Γ содержит такую точку C , что треугольник ABC равносторонний: AB=BC=AC=d .

Пусть P – еще одна точка, принадлежащая множеству Γ . Поскольку расстояние между точками P и A не превосходит d , точка P должна лежать внутри круга радиуса d с центром A . Точно так же она должна лежать и внутри кругов радиуса d с центрами B и C . Таким образом, множество Γ не выходят за пределы общей части этих трех кругов – криволинейного "треугольника" T (рис.1).

Далее, вместе с точками P и A множеству Γ должна принадлежать одна из двух точек Q и R – вершин равносторонних треугольников APQ и APR , т.е. точек, получающихся из P поворотом на 60^o (в ту или другую сторону) вокруг A (рис.2). Для того чтобы точка Q лежала внутри T , нужно, чтобы точка P лежала в пределах голубого "лепестка" AB ; действительно, если повернуть треугольник T вокруг точки A на 60^o против часовой стрелки, то точки лепестка AB и только они не выйдут за пределы T . Точно так же, для того чтобы точка R лежала внутри T , нужно, чтобы точка P лежала в пределах голубого "лепестка" AC . Итак, мы доказали, что любая точка P множества Γ должна лежать в пределах множества T_A , состоящего из двух голубых лепестков AB и AC с общей вершиной A . Но точно так же доказывается, что Γ заключено в пределах множества T_B (рис.3) и T_C (рис.4), а общая часть трех множеств T_A , T_B и T_C состоит только из трех точек A , B и C . Следовательно, никакая другая точка P не может принадлежать множеству Γ.

В нашем решении мы пользовались только тем, что в множестве Γ можно указать две точки, расстояние между которыми максимально. Для множества Γ , состоящего из конечного числа точек, это, разумеется, так. Однако утверждение задачи остается верным, если наложить на множество Γ более слабое условие – условие ограниченности. Для решения задачи в этом случае необходимы дополнительные рассуждения: их без труда смогут провести те, кто владеет первоначальными понятиями топологии точечных множеств на плоскости, например, в объеме книги: Н.Стинрод и У.Чинн "Первые понятия топологии" ("Мир", популярная серия "Современная математика"). Заметим, что от условия ограниченности отказаться уже нельзя.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	9
Задача
Номер	М102